Natureza do som - Parte IV

A Matemática Envolvida no Som

Matematicamente o som não possui um comportamento conforme o descrito pelo sistema decimal. O sistema decimal é um sistema de numeração de base dez. Imagine o número 250. Ele é a soma de 250 = 2*100 + 5*10 + 0* 1. Não é possível somar um som com pressão de 10 dB + 10dB e obter 20 dB.

O sistema matemático do som é o logarítmico. Isso ocorre por causa das propriedades físicas da onda sonora. O incremento no sistema logarítmico acontece de forma exponencial. A função logaritmo e a exponencial estão associadas.

Onde:
a é a base do logaritmo,
x o logaritmo e
b o logaritmando.

O Decibel

O decibel (dB) é adimensional e não é uma medida. Representa matematicamente a razão logarítmica entre duas grandezas de mesma unidade, sendo uma delas a referência. Por isso nas medidas de som existem vários “tipos” de dB.

dB - comparação de grandezas, expressa intensidade ou potência.
dBu – comparação de sinais de tensão elétrica, onde 0dBu = 0.
dBV – comparação de sinais de tensão elétrica, onde 0dBV = 1 V.
dBm – comparação de potência elétrica, onde 0dBm = 1mW.
dBW – comparação de potência elétrica, onde 0dBW = 1W.
dB-SPL – comparação de nível de pressão sonora, onde 0dB SPL = 20µN/m².

Este assunto será mais explorado no texto “Amostragem do Som”.

Bode, Nyquist e Resposta em Freqüência

Resposta em freqüência é a descrição ou análise do comportamento ou do ganho de um determinado sistema para várias faixas de freqüências. Nesta análise são utilizadas ferramentas matemáticas chamadas transformadas. Há pelo menos três que são utilizadas para descrever a onda sonora:

• Transformada de Fourier: é uma transformada integral que descreve funções trigonométricas (senos, co-senos).


• Transformada de Laplace: também é uma transformada integral, muito utilizada para solução de equações diferenciais, que são equações de equações, por assim dizer.


• Transformada Z: a transformada de Fourier pode ser considera um caso particular desta transformada. Ela é utilizada principalmente para a análise da conversão analógico/digital e vice versa.
  

O objetivo destas transformadas é poder converter as complexas operações com logaritmos em operações simples com decimais. Grosso modo, elas fazem com que o estudo do som seja o mais simples possível, como o uso de uma calculadora de quatro operações.

Todo este estudo da onda sonora gera dois tipos de gráfico que representam o comportamento do som em um dado sistema: Diagrama de Bode e Diagrama de Nyquist.

Uma das ferramentas mais utilizadas para a análise da resposta em freqüência de um sistema qualquer é o Diagrama de Bode. Ele é um gráfico com abscissas (eixo horizontal) em escala logarítmica e ordenada (eixo vertical) em escala decimal.

Um diagrama de Bode pode ser construído de forma experimental, medindo-se o ganho para cada freqüência ou de forma teórica, a partir da função de transferência do sistema. A função de transferência do sistema é uma equação diferencial linear que descreve o comportamento físico dinâmico do sistema em torno de um ponto de operação. Lê-se a função de transferência:

Output (ou resposta de saída do sistema) = Input (ou excitação do sistema).

O Diagrama Polar, muitas vezes conhecido como diagrama de Nyquist, basicamente traz as mesmas informações de resposta de freqüência de um sistema, porém com uma notação diferente e mais riqueza em detalhes. Quando se trabalha com Bode, as notações são feitas em dB (decibéis), anotando-se basicamente amplitude da onda; com Nyquist em módulo (amplitude da onda) e ângulo (fase da onda).

Nyquist é um teorema muito utilizado para a conversão de sinais analógicos em sinais digitais.

Tempo e Espaço

Todo som possui uma referência de espaço, nas três dimensões, e uma referência de tempo. Não nos referiamos aqui a contagem de tempo ou andamento de uma música, mas ao momento em que o som acontece. Localizamos o som no espaço-tempo através da percepção psicoacústica.

O ser humano consegue distinguir de onde vem um som porque possui duas orelhas. A distância temporal entre elas é de cerca de 20ms, variando de pessoa para pessoa. Se o som chega primeiro à orelha esquerda e depois à direita, provavelmente a fonte está mais a esquerda. O cérebro aprende durante a vida várias combinações que o permite localizar a fonte sonora ainda que ela não esteja sendo vista. Estas combinações apontam para o som em diversas direções, sempre indicando pelo menos três coordenadas: posição de largura, altura e profundidade. Cérebros treinados conseguem localizar mais de um tipo de som ao mesmo tempo no espaço e, alguns, conseguem inclusive dizer a composição musical do som (a nota que está tocando).

Então o som possui coordenadas espaciais, que podem se modificar durante o tempo.



O som pode modificar seu comportamento de acordo com a variável tempo. Em cada momento ele pode possuir características de volume e freqüência diferentes, bem como coordenadas x, y e z alteradas. Então o som que se escuta em um momento pode não ser semelhante ao que se escuta no momento seguinte, da mesma forma que pode não estar no mesmo lugar.

Se o som muda suas coordenadas espaço/tempo, então ele não é o mesmo para o observador, mesmo que este não modifique sua posição. Por outro lado, se o som não mudar suas coordenadas espaço/tempo e o observador modificar sua posição, ele sentirá mudança no som.

Se dois observadores do som, no mesmo momento em que ele ocorre estão em extremidades diferentes das coordenadas x, y e z do espaço em três dimensões, não perceberão o som da mesma forma. É por isso que existem ingressos com preços diferenciados para os shows: a qualidade da música pode não se manter a mesma no espaço/tempo do ambiente.

Energia

O som é uma dissipação de energia que excita os ouvidos. Como visto anteriormente seu comportamento é matematicamente descrito pela propagação esférica em meio físico a partir da fonte sonora. Ele é um agente modificador do ambiente. Propaga-se modificando a quantidade de energia e rearranjando esta nas moléculas do meio físico.

Cada molécula do ar encontra-se em um estado de equilíbrio energético, possuindo pelo menos as seguintes manifestações de energia:

• Cinética translacional: Energia de um corpo em movimento de translação em relação a um referencial, com uma velocidade v. A velocidade é proporcional à energia.
• Cinética rotacional: Energia de um corpo em movimento de rotação em relação a seu eixo, com uma velocidade v.
• Vibração interna: Energia responsável pelo movimento vibratório dos corpúsculos.
  

Quando bombardeados pela onda sonora os três tipos de energia do corpo sofrem um momentâneo desequilíbrio, que permite a passagem dela, e logo após há um rearranjo energético.

À medida que a onda sonora vai se propagando também vai perdendo força, gasta para que os processos de modificação aconteçam. Parte desta energia gasta é transformada em calor. Logo, em algum momento a onda sonora terá menos energia que a resistência do meio e deixará de se propagar.

As combinações energéticas da onda sonora, nas várias faixas de freqüência e volume, podem gerar efeitos psicoacústicos inumeráveis, alguns agradáveis, outros não, alguns desejados, outros não.

Não perca o próximo texto: MICROFONES.